Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R）．
（1）記函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），
（i）判斷函數(shù)F（x）的零點個數(shù)；
（ii）若函數(shù)|F（x）|在[0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）設(shè)G(x)=

f(x)，x＜1 g(x)，x≥1

．若對于函數(shù)y=G（x）圖象上異于原點O的任意一點P，在函數(shù)y=G（x）圖象上總存在另一點Q，使得

OP

•

OQ

＜0，且PQ的中點在y軸上，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）求出表達(dá)式，
（i）利用判別式的符號，直接判斷函數(shù)F（x）的零點個數(shù)；
（ii）通過函數(shù)|F（x）|在[0，1]上是減函數(shù)，化簡函數(shù)的表達(dá)式，利用函數(shù)的對稱軸，以及1處的函數(shù)值，列出不等式組，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）通過G(x)=

f(x)，x＜1 g(x)，x≥1

．求出函數(shù)y=G（x）的表達(dá)式，設(shè)出點P的坐標(biāo)、Q的坐標(biāo)，通過

OP

•

OQ

＜0，且PQ的中點在y軸上，求出a的取值范圍．

解答：解：（1）（i）F（x）=x²-ax-3
∵

△=a2+12＞0，

∴函數(shù)F（x）有2個零點． …（4分）
（ii） |F(x)|=|x2-ax-3|=

x2-ax-3 ，F(xiàn)(x) ≥0 -x2+ax+3 ，F(xiàn)(x)＜0

，當(dāng)a≤0時，圖象為：
當(dāng)a＞0時，圖象為：
由題意

a≤0 F(1)≤0

．解得-2≤a≤0…（8分）
（2）G(x)=

x2 ，x≤1 ax+3 ，x＞1

，
由題意易知P，Q兩點在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)P點坐標(biāo)在y軸的左側(cè)，設(shè)P(x1，

x

2 1

)，
當(dāng)-1＜x₁＜0，則Q(-x1，

x

2 1

)，

OP

•

OQ

=

x

2 1

(

x

2 1

-1)＜0恒成立，…（12分）
當(dāng)x₁≤-1，則設(shè)點Q（-x₁，-ax₁+3），

OP

•

OQ

=-

x

2 1

+

x

2 1

(-ax1+3)＜0恒成立，
∴ax₁＞2恒成立，∵x₁≤-1，
∴a＜

2

x1

恒成立，只要∴a＜(

2

x1

)min，…（14分）
∵x₁≤-1，∴(

2

x1

)min=-2，
∴a＜-2．             …（16分）

點評：本題考查函數(shù)的零點，函數(shù)與方程的關(guān)系的應(yīng)用，恒成立問題的應(yīng)用，平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．