Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x），其中a＞0，且a≠1．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f(

1

2

)=1，解不等式f（x）＜1．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由函數(shù)f（x）的解析式求得f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）由f（

1

2

）=1求得 a=

1

3

，不等式化為 log

1

3

1+x

1-x

＜1，故有0＜

1+x

1-x

＜

1

3

，即

-1＜x＜1 4x+2 3(x-1) ＞0

，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x），其中a＞0，且a≠1，
∴f（-x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=-[log_a（1-x）-log_a（1+x）]=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）∵f（

1

2

）=loga

1

2

-loga

3

2

=loga

1

3

=1，
∴a=

1

3

，
不等式f（x）＜1，即 log

1

3

(1+x)-log

1

3

(1-x)=log

1

3

1+x

1-x

＜1，
∴0＜

1+x

1-x

＜

1

3

，
即 

1+x 1-x ＞0 1+x 1-x ＜ 1 3

，

1+x x-1 ＜0 1+x x-1 ＞- 1 3

，
即

-1＜x＜1 4x+2 3(x-1) ＞0

．
解得-1＜x＜-

1

2

，故不等式的解集為（-1，-

1

2

）．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)不等式、分式不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．