Question

19．F₁、F₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，O為坐標(biāo)原點，若雙曲線左支上存在一點P，使（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$）•（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）=0，且|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|，則此雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)可得|OP|=|OF₂|=c=|OF₁|，可得PF₁⊥PF₂，運用雙曲線的定義和已知條件，可得|PF₂|=3a，|PF₁|=a，再由勾股定理和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$）•（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）=0，
可得$\overrightarrow{OP}$²-$\overrightarrow{O{F}_{1}}$²=0，
即有|OP|=|OF₁|=c=|OF₂|，
可得PF₁⊥PF₂，
Rt△PF₁F₂中，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|，
由雙曲線的定義得|PF₂|-|PF₁|=2a，
即有|PF₂|=3a，|PF₁|=a，
由勾股定理可得|PF₂|²+|PF₁|²=|F₁F₂|²，
即4c²=9a²+a²，
化簡可得2c²=5a²，
由離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的定義和雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，其中判斷△PF₁F₂是直角三角形是解題的關(guān)鍵．