Question

【題目】某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路l1、l2，海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段．為開(kāi)發(fā)旅游資源，需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道AB，且直線AB與曲線MPN有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P（即直線與曲線相切），如圖所示．若曲線段MPN是函數(shù)圖象的一段，點(diǎn)M到l1、l2的距離分別為8千米和1千米，點(diǎn)N到l2的距離為10千米，以l1、l2分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p．

（1）求曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；

（2）若某人從點(diǎn)O沿公路至點(diǎn)P觀景，要使得沿折線OAP比沿折線OBP的路程更近，求p的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意得M（1，8），則a=8，即得曲線段的函數(shù)關(guān)系式，可得其定義域；

（2）由函數(shù)關(guān)系式設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，設(shè)直線AB方程，將直線方程與曲線方程聯(lián)立求出A，B坐標(biāo)，即可求出最短長(zhǎng)度p的取值范圍

（1）由題意得M（1，8），則a=8，故曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式為，

又得，所以定義域?yàn)閇1，10]．

（2），設(shè)AB:

由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，

△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，

∴kp2+8=0，∴，得直線AB方程為，

得,B(2p,0)，故點(diǎn)P為AB線段的中點(diǎn)，

由即p2﹣8＞0,

得時(shí)，OA＜OB，

所以，當(dāng)時(shí)，經(jīng)點(diǎn)A至P路程最近．