Question

已知函數(shù)f（x）=

b

ax-1

+1（a＞0，a≠1，b∈R）是奇函數(shù)，且f（2）=

5

3

．
（1）求a，b的值；
（2）用定義證明f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及（2）=

5

3

，建立方程關(guān)系即可求出a，b的值．
（2）根據(jù)定義法即可證明函數(shù)單調(diào)性．

解答： 解：（1）因為f(2)=

b

a2-1

+1=

5

3

，
所以

b

a2-1

=

2

3

①，
因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
所以f(-2)=

b

a-2-1

+1=-f(2)=-

5

3

，
所以

ba2

1-a2

=-

8

3

②，
由①②可得a=±2（a=-2舍去），所以a=2，b=2．
（2）由（1）可得f(x)=

2

2x-1

+1，
設(shè)0＜x₁＜x₂＜+∞，
則f(x1)-f(x2)=(

2

2x1-1

+1)-(

2

2x2-1

+1)=

2(2x2-1)-2(2x1-1)

(2x1-1)(2x2-1)

=

2x2+1-2x1+1

(2x1-1)(2x2-1)

因為0＜x₁＜x₂＜+∞，且y=2^x在（0，+∞）為增函數(shù)，
所以2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2+1＞2x1+1
所以

2x2+1-2x1+1

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用．