Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

為R上的奇函數(shù)，且f（1）=

1

2

．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）在[m，n]上遞增，求n-m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和f（1）=

1

2

，建立方程即可求出a，b的值．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)[m，n]與遞增區(qū)間的關(guān)系，即可求出n-m的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ax+b

x2+1

為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即f（0）=

b

0+1

=0，即b=0，
此時(shí)f（x）=

ax

x2+1

，
∵f（1）=

1

2

，
∴f（1）=

a

2

=

1

2

，解得a=1．
（2）∵f（x）=

ax+b

x2+1

=

x

x2+1

，
∴f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

，由f′（x）≥0
解得x²≤1，
即-1≤x≤1，即函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞增，
若f（x）在[m，n]上遞增，
∴[m，n]⊆[-1，1]，
即當(dāng)m=-1，n=1時(shí)，n-m取得最大值，為1-（-1）=1+1=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性的基本方法．