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3.已知正項(xiàng)數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn,且an=2Sn-1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)bn=1anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

分析 (1)由題意可得4Sn=(an+1)2,當(dāng)n≥2時(shí),Sn-Sn-1=an,4Sn=(an+1)2,①,n換為n-1可得4Sn-1=(an-1+1)2,②作差,化簡(jiǎn)整理可得an-an-1=2,{an}是等差數(shù)列,公差是2,求出a1,a2,可得所求通項(xiàng)公式;
(2)求得bn=1anan+1=12n12n+1=1212n1-12n+1),運(yùn)用數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,化簡(jiǎn)整理即可得到所求和.

解答 解:(1)由an=2Sn-1,可得:
4Sn=(an+1)2,①
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-Sn-1=an
n換為n-1可得4Sn-1=(an-1+1)2,②
①-②可得4an=(an+1)2-(an-1+1)2,
化為(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
由題意得到an-an-1=2,
∴{an}是等差數(shù)列,公差是2,
2a1=a1+1,求得a1=1,
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n-1;
(2)bn=1anan+1=12n12n+1=1212n1-12n+1),
可得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為12(1-13+13-15+…+12n1-12n+1
=12(1-12n+1)=n2n+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式,考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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