Question

已知n次多項式Sn(x)=

n

i=0

aixi．
①當x=x₀時，求S_n（x₀）的值通常要逐項計算，如：計算S₂（x₀）=a₂x₀²+a₁x₀+a₀共需要5次運算（3次乘法，2次加法），依此算法計算S_n（x₀）的值共需要

n(n+3)

2

次運算．
②我國宋代數(shù)學家秦九韶在求S_n（x₀）的值時采用了一種簡捷的算法，實施該算法的程序框圖如圖所示，依此算法計算S_n（x₀）的值共需要

2n

次運算．

Answer 1

分析：①由題設條件知，a_ixⁱ需要做i次乘法，故Sn(x)=

n

i=0

aixi的計算要做的加法次數(shù)是n，乘法次數(shù)是n+（n-1）+（n-1）+…+3+2+1計算出總的次數(shù)即可．
②由程序框圖易知，此計算方式所做的乘法與加法的是一樣的，易得總的計算次數(shù)

解答：解：①由題設條件知，a_ixⁱ需要做i次乘法，故Sn(x)=

n

i=0

aixi的計算要做的加法次數(shù)是n，乘法次數(shù)是n+（n-1）+（n-1）+…+3+2+1=

n(n+1)

2

故總的計算次數(shù)是n+

n(n+1)

2

=

n(n+3)

2

②由框圖知，我國宋代數(shù)學家秦九韶在求S_n（x₀）的值時采用的簡捷的算法過程中，加法運算與乘法運算的次數(shù)是一樣的，都是n次
所以依此法計算S_n（x₀）的值共需要2n次運算
故答案為

n(n+3)

2

；  2n

點評：本題考查數(shù)列的求和及對框圖的理解，解題的關鍵是掌握分組求和的技巧以及能利用所給的框圖歸納出秦九韶算法的計算規(guī)律，本題圖表型的計算題，將框圖與數(shù)列結合考查是近幾年高考中常出現(xiàn)的對框圖的考查方式，注意總結兩者結合的方式及此類題型的解題脈絡