Question

已知函數(shù)f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2

3

cosωxsinωx（ω＞0），f（x）的兩條相鄰對稱軸間的距離大于等于

π

2

．
（Ⅰ）求ω的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊依次為a，b，c，a=

3

，b+c=3，f（A）=1，當(dāng)ω=1時，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)f（x）的兩條相鄰對稱軸間的距離大于等于

π

2

，利用周長公式列出關(guān)于ω的不等式，求出不等式的解集即可確定出ω的取值范圍；
（Ⅱ）由ω=1確定出f（x）解析式，再由f（A）=1，求出A的度數(shù)，根據(jù)a，b+c的值，利用余弦定理求出bc的值，再利用三角形面積公式即可求出△ABC的面積．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2

3

cosωxsinωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
∵ω＞0，∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2ω

=

π

ω

，
由題意得：

T

2

≥

π

2

，即T=

π

ω

≥π，
解得：0＜ω≤1；
（Ⅱ）∵ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∵f（A）=1，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵2A+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
∵a=

3

，b+c=3，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=3①，
∵（b+c）²=b²+c²+2bc=9②，
聯(lián)立①②，解得：bc=2，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及三角形面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．