【題目】已知CD是等邊三角形ABC的AB邊上的高,E,F分別是AC和BC邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.
(1)求直線BC與平面DEF所成角的余弦值;
(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE?證明你的結(jié)論.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為,可得直線BC的方向向量和平面EDF的法向量=(3,-,3),設(shè)直線BC與平面DEF所成角為,則有,然后再求出,即為所求.(2)假設(shè)在線段BC上存在一點(diǎn),使得AP⊥DE,則由=可得P,于是,由可得,符合題意,進(jìn)而得到結(jié)論.
(1)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DB,DC分別為x軸,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,則A,B,C,E,F,
設(shè)平面EDF的法向量為,
則
取=(3,-,3).
又因?yàn)?/span>,
設(shè)直線BC與平面DEF所成角為,
則,
所以,
即直線BC與平面DEF所成角的余弦值等于.
(2)假設(shè)在線段BC上存在一點(diǎn),使AP⊥DE,
令=,
即=λ,
則P,
于是.
因?yàn)锳P⊥DE,
所以,
整理得λa2-a2=0,
解得,符合題意.
故線段BC上存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣ax+b(a>0,b>0)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)m,n,且m,n和﹣2三個(gè)數(shù)適當(dāng)排序后,即可成為等差數(shù)列,也可成為等比數(shù)列,則a+b的值為( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{an},{f(an)}仍是等比數(shù)列,則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函數(shù):①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= ;④f(x)=ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(I)已知函數(shù)f(x)=rx﹣xr+(1﹣r)(x>0),其中r為有理數(shù),且0<r<1.求f(x)的最小值;
(II)試用(I)的結(jié)果證明如下命題:設(shè)a1≥0,a2≥0,b1 , b2為正有理數(shù),若b1+b2=1,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2;
(III)請(qǐng)將(II)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注:當(dāng)α為正有理數(shù)時(shí),有求導(dǎo)公式(xα)r=αxα﹣1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn),斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),且.
(1)求該拋物線的方程;
(2) 為坐標(biāo)原點(diǎn),為拋物線上一點(diǎn),若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖像如圖所示.
則下列說(shuō)法中正確的是____(填序號(hào)).
①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(4,5)上單調(diào)遞增;
④當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=f(x)有極小值;
⑤當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)y=f(x)有極大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB、CD是圓的兩條平行弦,BE∥AC,BE交CD于E、交圓于F,過(guò)A點(diǎn)的切線交DC的延長(zhǎng)線于P,PC=ED=1,PA=2.
(1)求AC的長(zhǎng);
(2)試比較BE與EF的長(zhǎng)度關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,P是⊙O外一點(diǎn),PA是切線,A為切點(diǎn),割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B,C,PC=2PA,D為PC的中點(diǎn),AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E,證明:
(1)BE=EC;
(2)ADDE=2PB2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足4Sn=(an+1)2.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.
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