【題目】已知CD是等邊三角形ABC的AB邊上的高,E,F分別是AC和BC邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.

(1)求直線BC與平面DEF所成角的余弦值;

(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE?證明你的結(jié)論.

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，可得直線BC的方向向量和平面EDF的法向量=(3,-,3)，設(shè)直線BC與平面DEF所成角為，則有，然后再求出，即為所求．（2）假設(shè)在線段BC上存在一點(diǎn),使得AP⊥DE，則由=可得P，于是，由可得，符合題意，進(jìn)而得到結(jié)論．

(1)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DB,DC分別為x軸,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,則A,B,C,E,F,

設(shè)平面EDF的法向量為,

則

取=(3,-,3).

又因?yàn)?/span>,

設(shè)直線BC與平面DEF所成角為，

則，

所以，

即直線BC與平面DEF所成角的余弦值等于.

(2)假設(shè)在線段BC上存在一點(diǎn),使AP⊥DE,

令=,

即=λ,

則P,

于是.

因?yàn)锳P⊥DE,

所以，

整理得λa2-a2=0,

解得，符合題意.

故線段BC上存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)m，n，且m，n和﹣2三個(gè)數(shù)適當(dāng)排序后，即可成為等差數(shù)列，也可成為等比數(shù)列，則a+b的值為（ ）
A.7
B.8
C.9
D.10

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A.①②
B.③④
C.①③
D.②④

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【題目】（I）已知函數(shù)f（x）=rx﹣xr+（1﹣r）（x＞0），其中r為有理數(shù)，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；
（II）試用（I）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)a1≥0，a2≥0，b1 ， b2為正有理數(shù)，若b1+b2=1，則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；
（III）請(qǐng)將（II）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題．注：當(dāng)α為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式（xα）r=αxα﹣1 ．

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【題目】已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且.

(1)求該拋物線的方程；

(2) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值．

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【題目】已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖像如圖所示.

則下列說(shuō)法中正確的是____(填序號(hào)).

①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;

②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減;

③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(4,5)上單調(diào)遞增;

④當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=f(x)有極小值;

⑤當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)y=f(x)有極大值.

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（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）試比較BE與EF的長(zhǎng)度關(guān)系．

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（2）ADDE=2PB2 ．

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