Question

函數(shù)f（x）=

a

x

+xlnx（a≠0），g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；
（Ⅲ）如果對(duì)任意的x₁，x₂∈[

1

2

，2]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等價(jià)于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，
求出函數(shù)的最值，即可求滿足條件的最大整數(shù)M；
（Ⅲ）對(duì)任意的x₁，x₂∈[

1

2

，2]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，等價(jià)于a≥x-x²lnx恒成立，求右邊的最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）考察g（x）=x³-x²-3，則g'（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

）
由g′（x）＞0得x＞

2

3

或x＜0，由g′（x）＜0得0＜x＜

2

3

，
故函數(shù)在區(qū)間（0，

2

3

）上的單調(diào)減，在（

2

3

，2）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，
等價(jià)于：[g（x₁）-g（x₂）]max≥M
由（Ⅰ）可知：當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，g(x)min=g(

2

3

)=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
故[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=

112

27

，
所以滿足條件的最大整數(shù)M=4；
（Ⅲ）對(duì)任意的x₁，x₂∈[

1

2

，2]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
等價(jià)于：在區(qū)間[

1

2

，2]上，函數(shù)f（x）的最小值不小于g（x）的最大值
由（Ⅱ）知，在區(qū)間[

1

2

，2]上，g（x）的最大值為g（2）=1
故在區(qū)間[

1

2

，2]上，f（x）≥1即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，f（x）=

a

x

+xlnx≥1，則a≥x-x²lnx
記h（x）=x-x²lnx，h′（x）=1-2xlnx-x，h′（1）=0，
即在[

1

2

，1]上h′（x）＞h′（1）=0，h（x）單調(diào)遞增，
在[1，2]上h′（x）＜h′（1）=0，h（x）單調(diào)遞減．
則h（x）_max=h（1）=1，
故當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）≥1．
故對(duì)任意的x₁，x₂∈[

1

2

，2]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．