Question

已知函數f x=3sin²x+2

3

sinxcosx+5cos²x
（1）若f（α）=5，求tanα的值；
（2）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC，求函數f（x）在（0，B）上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦定理

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得解析式f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4由f（α）=2sin（2α+

π

6

）+4=5，根據萬能公式可解得tanα的值．
（2）已知等式（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理可求得B=

π

6

．從而可得2x+

π

6

∈（

π

6

，

π

2

），即可求出函數f（x）在（0，B）上的最大值為6，最小值為5．

解答： 解：（1）∵f（x）=3sin²x+2

3

sinxcosx+5cos²x
=

3

2

（1-cos2x）+

3

sin2x+

5

2

（1+cos2x）
=4+

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）+4
∴f（α）=2sin（2α+

π

6

）+4=5，可解得sin（2α+

π

6

）=

1

2

，即有

3

sin2α+cos2α=1
∴可得

2 3 tanα

1+tan2α

+

1-tan2α

1+tan2α

=1，從而解得tanα=

3

或0．
（2）已知等式（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化簡得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
則B=

π

3

．
∵x∈（0，

π

3

），∴2x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

）
∴sin（2x+

π

6

）∈（

1

2

，1）
∴2sin（2x+

π

6

）+4∈（5，6）
∴函數f（x）在（0，B）上的最大值為6，最小值為5．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，正弦定理的應用，三角函數的圖象與性質，屬于基本知識的考查．