Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），對(duì)一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0時(shí)，f（x）＜0．
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）時(shí)，解不等式f（ax+4）＞-1．

Answer 1

解：（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，則x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

（2）∵f（2）+f（2）=-1
∴f（ax+4）＞f（2+2）=f（4）
由（1）知f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，∴0＜ax+4＜4
當(dāng)a＞0時(shí)，解得
當(dāng)a＜0時(shí)，解得
當(dāng)a=0時(shí)，無解
分析：（1）任取兩個(gè)變量且界定大小，由主條件將f（x₂）-f（x₁）變形為f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）再利用x＞0時(shí)，f（x）＜0得證．
（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為f（ax+4）＞f（2+2）=f（4）由（1）知f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，得到0＜ax+4＜4，再按照一元一次不等式求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)證明單調(diào)性問題和應(yīng)用單調(diào)性解抽象不等式問題．