Question

【題目】首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.
（1）證明：若a1為奇數(shù)，則對(duì)一切n≥2，an都是奇數(shù)；
（2）若對(duì)一切n∈N*都有an＋1>an ， 求a1的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】

證明：已知a1是奇數(shù)，假設(shè)ak＝2m－1是奇數(shù)，其中m為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得 是奇數(shù)．

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任意n∈N*，an都是奇數(shù)

（2）

【解答】

由an+1-an=(an-1)(an-3)知

當(dāng)且僅當(dāng)an<1或an>3時(shí)，an+1>an,

另一方面，若0<ak<1,

則0<ak+1<=1;

若ak>3，則ak+1>.

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，

綜上所述，對(duì)一切n∈N*，都有an＋1>an的充要條件是0<a1<1或a1>3.

【解析】一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N+)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握

1. 步驟:A.命題在n=1（或）時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；B.假設(shè)在n=k時(shí)命題成立； C.證明n=k+1時(shí)命題也成立,完成這兩步,就可以斷定對(duì)任何自然數(shù)(或n>=,且)結(jié)論都成立

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