已知m＞1，直線l：x-my-
m2
2
=0，橢圓C：
x2
m2
+y2=1，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G、H．若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅰ）因?yàn)橹本�l：x-my-
m2
2
=0，經(jīng)過F2（
m2-1
，0），
所以
m2-1
=
m2
2
，得m2=2，
又因?yàn)閙＞1，所以m=
2
，
故直線l的方程為x-
2
y-1=0．
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
x=my+
m2
2
x2
m2
+y2=1
，消去x得
2y2+my+
m2
4
-1=0
則由△=m2-8（
m2
4
-1）=-m2+8＞0，知m2＜8，
且有y1+y2=-
m
2
，y1y2=
m2
8
-
1
2
．
由于F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），故O為F1F2的中點(diǎn)，
由
AG
=2
GO
，
BH
=2
H0
，可知G（
x1
3
，
y1
，3
），H（
x2
3
，
y2
3
）
|GH|2=
(x1-x2)2
9
+
(y1-y2)2
9

設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則M（
x1+x2
6
，
y1+y2
6
），
由題意可知2|MO|＜|GH|
即4[（
x1+x2
6
）2+（
y1+y2
6
）2]＜
(x1-x2)2
9
+
(y1-y2)2
9
即x1x2+y1y2＜0
而x1x2+y1y2=（my1+
m2
2
）（my2+
m2
2
）+y1y2=（m2+1）（
m2
8
-
1
2
）
所以（
m2
8
-
1
2
）＜0，即m2＜4
又因?yàn)閙＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范圍是（1，2）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若直線mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4相交，則點(diǎn)P（m，n）與橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1的位置關(guān)系為（　�。�
A．點(diǎn)P在橢圓C內(nèi)B．點(diǎn)P在橢圓C上
C．點(diǎn)P在橢圓C外D．以上三種均有可能

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知p：方程
x2
k-4
+
y2
k-6
=1表示雙曲線，q：過點(diǎn)M（2，1）的直線與橢圓
x2
5
+
y2
k
=1恒有公共點(diǎn)，若p∧q為真命題，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點(diǎn)F（1，0），C1的中心和C2的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4，0）的直線l與拋物線C2分別相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直線l的方程；
（Ⅲ）若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點(diǎn)，求橢圓C1的長軸長的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M、拋物線N的焦點(diǎn)均在x軸上的，且M的中心和M的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：
x3-24
2
y-2
3
0-4
2
2
（Ⅰ）求M，N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)A（1，
1
2
），過原點(diǎn)O作直線l交橢圓M于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值和此時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分，橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P、M．
①求證：直線MP經(jīng)過一定點(diǎn)；
②試問：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請(qǐng)求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（4，0），M，N是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接PN交橢圓C于另一點(diǎn)E，求直線PN的斜率的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明直線ME與x軸相交于定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l1過A（0，1），與直線x=-2相交于點(diǎn)P（-2，y0），直線l2過B（0，-1）與x相交于Q（x0，0），x0、y0滿足y0-
x0
2
=1，l1∩l2=M．
（Ⅰ）求直線l1的方程（方程中含有y0）；
（Ⅱ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點(diǎn)F1的直線l與C相交于點(diǎn)A、B，F(xiàn)2為C的右焦點(diǎn)，求△ABF2面積最大時(shí)點(diǎn)F2到直線l的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

直線y=2x+1與橢圓
x2
4
+
y2
16
=1的位置關(guān)系是（　�。�
A．相交B．相切C．相離D．不確定

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