(I)解:設(shè)P(x,y),
∵動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
),(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
)的距離之和等于4
∴由橢圓定義可知,點(diǎn)P的軌跡C是以(0,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
),(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
)為焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸為2的橢圓.它的短半軸b=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/72621.png)
=1,故曲線C的方程為x2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4951.png)
=1.
(Ⅱ)解:設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
由以AB為直徑的圓過原點(diǎn)0,可得OA⊥OB,∴x
1x
2+y
1y
2=0
將直線y=kx+l代入橢圓方程,消元可得(4+k
2)x
2+2kx-3=0
∴x
1+x
2=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203742.png)
,x
1x
2=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203743.png)
∴y
1y
2=(kx
1+l)(kx
2+l)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203744.png)
∴-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203743.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203744.png)
=0
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10199.png)
,∴k=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5803.png)
;
(Ⅲ)證明:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203745.png)
=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/149908.png)
)-(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/149909.png)
)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203746.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203747.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203748.png)
∵點(diǎn)A在第一象限,∴x
1>0
∵x
1x
2=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203743.png)
,∴x
2<0
∴x
1-x
2>0
∵k>0,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203749.png)
,
∴恒有|OA|>|OB|.
分析:(I)動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
),(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
)的距離之和等于4,由橢圓的定義知此動(dòng)點(diǎn)的軌跡應(yīng)為橢圓,從而可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),由以AB為直徑的圓過原點(diǎn)0,可得OA⊥OB,從而x
1x
2+y
1y
2=0,將直線y=kx+l代入橢圓方程,消元可得一元二次方程,利用韋達(dá)定理,即可求k的值;
(Ⅲ)用坐標(biāo)表示出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/203745.png)
,利用點(diǎn)A在第一象限,k>0,即可證得結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查不等式的證明,關(guān)鍵要理解好橢圓定義的條件,正確運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行解題.