Question

已知數列{a_n}中的相鄰兩項a_2k-1，a_2k（k=1，2，3…）是關于x的方程x²-（4k+2+2^k）x+（2k+1）×2^k+1=0的兩個根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數列{a_n}的通項a_n；
（3）求數列{a_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將方程因式分解求出方程兩個根，即求出a_2k-1與a_2k，然后分別令k=1和2，即可求出a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）當k≤4，即n≤8時，奇數項是等比數列，偶數項是等差數列，當k≥5，即n≥9時，奇數項是等差數列，偶數項是等比數列，然后利用分段函數表示即可；
（3）當k≤4，即n≤8時，討論n的奇偶，分別進行求和，當k≥5，即n≥9時，也討論n的奇偶，分別進行求和，求和時特別注意項數．
解答：解：（1）由（x-（4k+2））（x-2^k）=0可知方程兩根為4k+2，2^k k=1，a₁=2，a₂=6   k=2，a₃=4，a₄=10
（2）當k≤4，即n≤8時，
當k≥5，即n≥9時，
（3）當k≤4，即n≤8時，，
ⅰ）當n=2k，k∈N^•為偶數時，s_n==2^k+1-2+2k²+4k=
ⅱ）當n=2k-1，k∈N^•為奇數時，s_n=+=
當k≥5，即n≥9時，
ⅰ）當n=2k，k∈N^*為偶數時，s_n==2^k+1-2+2k²+4k=
ⅱ）當n=2k-1，k∈N^•為奇數時，s_n=+2n+4=
點評：本題主要考查了解方程，以及等差數列和等比數列的通項公式和求和，同時考查了計算能力，屬于綜合題，有一定的難度．