Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都是2，D、E分別為CC₁、A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求證C₁E∥平面A₁BD；
（2）求證AB₁⊥平面A₁BD；
（3）求三棱錐A₁-C₁DE的體積．

Answer 1

解：（1）設(shè)AB₁與A₁B相交于F，連EF，DF．則EF為△AA₁B₁的中位線，∴EF∥=A₁A．
∵C₁D∥=A₁A，∴EF∥=C₁D，則四邊形EFDC₁為平行四邊形，∴DF∥C₁E．
∵C₁E?平面A₁BD，DF?平面A₁BD，∴C₁E∥平面A₁BD．
（2）取BC的中點(diǎn)H，連接AH，B₁H，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，知AH⊥BC，
∵B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥AH．∵B₁B∩BC=B，∴AH⊥平面B₁BCC₁．∴AH⊥BD．
在正方形B₁BCC₁中，∵tan∠BB₁H=tan∠CBD=，∴∠BB₁H=∠CBD．則B₁H⊥BD．
∵AH⊥∩B₁H=H，∴BD⊥平面AHB₁．∴BD⊥AB₁．
在正方形A₁ABB₁中，∵A₁B⊥AB₁．而A₁B∩BD=B，∴AB₁⊥平面A₁BD．
（3）∵E為AB的中點(diǎn)，∴．
分析：（1）要證C₁E∥平面A₁BD；只須證明直線平行平面內(nèi)的一條直線，圖中DF即可．
（2）要證AB₁⊥平面A₁BD；只須證明只須垂直平面內(nèi)的兩條相交直線A₁B、DF 即可，前者利用正方形證明，后者△A₁BD說明是等腰三角形．
（3）求三棱錐A₁-C₁DE的體積．利用等底面面積等高體積相等，轉(zhuǎn)化為D-A₁EC₁的體積，再轉(zhuǎn)化為D-A₁B₁C₁的體積求解即可．
點(diǎn)評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查棱柱、棱錐的體積，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．