Question

已知?jiǎng)訄AC過點(diǎn)A（-2，0），且與圓M：（x-2）²+y²=64相內(nèi)切
（1）求動(dòng)圓C的圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m（其中k，m∈Z）與（1）所求軌跡交于不同兩點(diǎn)B，D，與雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)，問是否存在直線l，使得向量

DF

+

BE

=

0

，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由|AM|=4＜R得點(diǎn)A（-2，0）在圓M內(nèi)，設(shè)動(dòng)圓C的半徑為r，依題意得r=|CA|，且|CM|=R-r，|CM+|CA|=8＞|AM|，由定義得圓心C的軌跡是中心在原點(diǎn)，以A，M兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系解答即可．
（2）直線l：y=kx+m與

x2

16

+

y2

12

=1交于不同兩點(diǎn)B，D，即x₁+x₂=-

8km

3+4k2

同理得x₃+x₄=

2km

3-k2

又因?yàn)?span id="vh53nfi" class="MathJye">

DF

+

BE

=

0

所以（x₄-x₂ ）+（x₃-x₁）=0即x₁+x₂=x₃+x₄
，∴2km=0或-

4

3+4k2

=

1

3-k2

又其中k，m∈Z即可求出k，m的數(shù)值．

解答：解：（1）圓M：（x-2）²+y²=64，圓心M的坐標(biāo)為（2，0），半徑R=8．
∵|AM|=4＜R，∴點(diǎn)A（-2，0）在圓M內(nèi)，
設(shè)動(dòng)圓C的半徑為r，圓心為C，依題意得r=|CA|，且|CM|=R-r，
即
∴圓心C的軌跡是中心在原點(diǎn)，以A，M兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，
設(shè)其方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則a=4，c=2，
∴b²=a²-c²=12，∴所求動(dòng)圓C的圓心的軌跡方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）由

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

消去y 化簡(jiǎn)整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8km

3+4k2

．
△₁=（8km）²-4（3+4k²） （4m²-48）＞0．①
由

y=kx+m x2 4  - y2 12 =1

消去y 化簡(jiǎn)整理得：（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，
設(shè)E（x₃，y₃），F(xiàn)（x₄，y₄），則x₃+x₄=

2km

3-k2

．
△₂=（-2km）²+4（3-4k²） （m²+12）＞0．②
∵

DF

+

BE

=

0

，∴（x₄-x₂ ）+（x₃-x₁）=0，即x₁+x₂=x₃+x₄，
∴-

8km

3+4k2

=

2km

3-k2

，∴2km=0或-

4

3+4k2

=

1

3-k2

，
解得k=0或m=0，
當(dāng)k=0時(shí)，由①、②得-2

3

＜m＜2

3

，
∵m∈Z，∴m的值為-3，-2，-1，0，1，2，3；
當(dāng)m=0時(shí)，由①、②得-

3

2

＜m＜

3

2

，
∵k∈Z，∴k=-1，0，1．
∴滿足條件的直線共有9條．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓、橢圓、直線等基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)探究，考查數(shù)形結(jié)合、類與整的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．