Question

已知函數(shù)f（x）=4lnx+ax²-6x+b（a，b為常數(shù)），且x=2為f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）有3個不同的零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f （x）的定義域，利用x=2為f（x）的一個極值點，建立方程，可求a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=4lnx+x²-6x+b，求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ） 求出f （x） 的極大值與極小值，根據(jù)函數(shù)y=f（x）有3個不同的零點，令極大大于0．極小小于0，即可求實數(shù)b的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f （x）的定義域為（0，+∞）…（1分）
∵f′（x）=，x=2為f（x）的一個極值點…（2分）
∴f'（2）=2+4a-6=0，∴a=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=4lnx+x²-6x+b
∴f′（x）=…（6分）
由f′（x）＞0可得x＞2或x＜1，由f′（x）＜0可得1＜x＜2．
∴函數(shù)f （ x ） 的單調(diào)遞增區(qū)間為 （0，1）和 （2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為 （1，2 ）．        …（9分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）可知函數(shù)f （x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．
且當(dāng)x=1或x=2時，f′（x）=0．                         …（10分）
∴f （x） 的極大值為f（1）=4ln1+1-6+b=b-5…（11分）
f （x）的極小值為f（2）=4ln2+4-12+b=4ln2-8+b…（12分）
由題意可知
則5＜b＜8-4ln2…（14分）
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，綜合性強．