Question

【題目】設函數(shù) （為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若函數(shù)在內存在兩個極值點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區(qū)間為單調遞增區(qū)間為；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的正負性，求出函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，等價于它的導函數(shù)f′（x）在（0，2）內有兩個不同的零點．

試題解析：（1）.函數(shù)的定義域為

由可得,

所以當時,,函數(shù)單調遞減;

當時,,函數(shù)單調遞增;

所以的單調遞減區(qū)間為單調遞增區(qū)間為.

（2）.由1知,時,函數(shù)在內單調遞減,

故在內不存在極值點;

當時,設函數(shù),,

因為,

當時,當時,,單調遞增;

故在內不存在兩個極值點;

當時,得時,,函數(shù)單調遞減;

時,,函數(shù)單調遞增;

所以函數(shù)的最小值為,

函數(shù)在內存在兩個極值點,

當且僅當,解得.

綜上所述,函數(shù)在內存在兩個極值點時,的取值范圍為.