已知直線：(kR)與圓C:相交于點(diǎn)A、B, M為弦AB中點(diǎn)．

(Ⅰ) 當(dāng)k=1時(shí)，求弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)及AB弦長(zhǎng)；

（Ⅱ）求證：直線與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn);

（Ⅲ）當(dāng)k變化時(shí)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

 

【答案】

（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）．

【解析】（1）先直線方程與圓的方程聯(lián)立，求交點(diǎn)坐標(biāo)，再求弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線過(guò)定點(diǎn)，其在圓內(nèi)；3（）利用直線斜率乘積為-1，求軌跡方程.

解 :（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，由得   

設(shè)，，則

．∴．  

（Ⅱ）直線：（）過(guò)定點(diǎn)且P在圓內(nèi)∴直線與圓總有兩個(gè)交點(diǎn)

（Ⅲ）∵，直線：（）過(guò)定點(diǎn)

∴點(diǎn)M在以O(shè)P為直經(jīng)的圓周上．∴設(shè)

∵             

∴點(diǎn)M的軌跡方程．   

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

 已知點(diǎn)F1、F2分別為橢圓C：=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，且|F1F2 | =2，∠F1PF2=，△F1 PF2的面積為．

    （I）求橢圓C的方程；

    （Ⅱ）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），過(guò)點(diǎn)F2且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，對(duì)于任意的kR，·是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

     已知點(diǎn)F1、F2分別為橢圓C：=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，且|F1F2 | =2，∠F1PF2=，△F1 PF2的面積為．

    （I）求橢圓C的方程；

    （Ⅱ）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），過(guò)點(diǎn)F2且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，對(duì)于任意的kR，·是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說(shuō)明理由．

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