Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a＝2a＋a_na_n+1，且a₂＋a₄＝2a₃＋4，其中n∈N^*．

(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，令b_n＝，其中n∈N^*，試比較與的大小，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4966/0019/e858c469c09eb2126dc6f590812fa058/C/Image94.gif" width=125 HEIGHT=25>，即 　　又an＞0，所以有，所以 　　所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．3分 　　由得，解得． 　　故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．6分 　　(Ⅱ)因，所以 　　即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比是的等比數(shù)列． 　　所以，7分 　　則 　　又．8分 　　 　　法一：數(shù)學(xué)歸納法猜想 　�、佼�(dāng)時(shí)，，上面不等式顯然成立； 　　②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立 　　當(dāng)時(shí)，． 　　綜上①②對任意的均有；10分 　　法二：二項(xiàng)式定理：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4966/0019/e858c469c09eb2126dc6f590812fa058/C/Image122.gif" width=46 HEIGHT=21>， 　　所以． 　　即對任意的均有．10分 　　又， 　　 　　所以對任意的均有．12分