Question

已知各項(xiàng)為正的等差數(shù)列{a_n}，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}，b₁=2，且b₂S₃=b₃S₂=24
（1）求{a_n}與{b_n}；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）各項(xiàng)為正的等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}公比為q，
∵b₂S₃=b₃S₂=24，
∴2q（3+3d）=2q²（2+d）=24，
解得q=2，d=1，或q=-6，d=-

2

3

舍去．
∴a_n=1+n-1=n，
b_n=2ⁿ．
（2）a_nb_n=n•2ⁿ．
∴T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．