Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，點(diǎn)M、N分別為BC、PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2．
（1）證明：BC⊥AMN；
（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得MN∥面ACE？若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由．
（3）求二面角A-PD-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）要證線與面垂直，只要證明線與面上的兩條相交線垂直，找面上的兩條線，根據(jù)四邊形是一個(gè)菱形，從菱形出發(fā)找到一條，再從PA⊥平面ABCD，得到結(jié)論．
（2）對于這種是否存在的問題，首先要觀察出結(jié)論，再進(jìn)行證明，根據(jù)線面平行的判定定理，利用中位線確定線與線平行，得到結(jié)論．
（3）過A作AE垂直PD于E，作CF垂直PD于F，則二面角A-PD-C的夾角即為AE，CF的夾角，代入異面直線上兩點(diǎn)之間的距離公式，構(gòu)造關(guān)于θ的三角方程，即可求出二面角A-PD-C的正切值．

解答：證明：（1）∵ABCD為菱形，
∴AB=BC
又∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC，
又M為BC中點(diǎn)，∴BC⊥AM
而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN
解：（2）存在點(diǎn)E，使得MN∥面ACE，理由如下：
取PD中點(diǎn)E，連接NE，EC，AE，
∵N，E分別為PA，PD中點(diǎn)，
∴NE

∥ .

.

1

2

AD
又在菱形ABCD中，CM

∥ .

.

1

2

AD
∴NE

∥ .

.

MC，即MCEN是平行四邊形
∴NM∥EC，
又EC?平面ACE，NM?平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一點(diǎn)E，使得NM∥平面ACE，
此時(shí) PE=

1

2

PD=

2

．
（3）過A作AE垂直PD于E，作CF垂直PD于F，
則AE=

2

，CF=

14

2

，EF=

2

2

，AC=2
設(shè)二面角A-PD-C的平面角為θ
則AC=

AE2+CF2+EF2-2•AE•CF•cosθ

=2
則cosθ=

7

7

則tanθ=

6

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，是一個(gè)非常適合作為高考題目出現(xiàn)的問題，題目包含的知識點(diǎn)比較全面，重點(diǎn)突出，是一個(gè)好題．