Question

已知函數(shù)f(x)=alnx+

1

2

x2-(1+a)x(x＞0)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）n∈N^*，求證：

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

ln(n+1)

＞

n

n+1

．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x（x＞0），得f′（x）=

a

x

+x-（1+a），x＞0，由此根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由于f（1）=-

1

2

-a，當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）＜0，此時(shí)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上取得最小值為f（1）=-

1

2

-a，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）由（2）知，當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，這個(gè)不等式等價(jià)于lnx≤x²-x．由此能夠證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

ln(n+1)

＞

n

n+1

恒成立．

解答：解：（1）∵f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x（x＞0），
∴f′（x）=

a

x

+x-（1+a），x＞0，
①當(dāng)a≤0時(shí)，若0＜x＜1，則f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1）；
若x＞1，則f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（a，1）；
單調(diào)增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）．
③當(dāng)a=1時(shí)，則f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
⑤當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）；
函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=-

1

2

-a，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）＜0，
此時(shí)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．
當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的極小值，也是最小值為f（1）=-

1

2

-a，
此時(shí)，f（1）≥0，解得a≤-

1

2

，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

1

2

）．
（3）由（2）知，當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，
f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，
這個(gè)不等式等價(jià)于lnx≤x²-x．
當(dāng)x＞1時(shí)，變換為

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

x-1

-

1

x

，
在上面的不等式中，
令x=2，3，…，1+n，
則有

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

ln(n+1)

＞（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=

n

n+1

，
即對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

ln(n+1)

＞

n

n+1

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式恒成立的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的靈活運(yùn)用．