Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面正方形ABCD的中心，M是線段A₁B的中點．
（Ⅰ）證明：平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）證明：MO∥平面B₁BCC₁．

Answer 1

滿分（14分）．
證明：（Ⅰ）∵底面ABCD是正方形，
∴BD⊥AC． …（2分）
∵C₁C⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥C₁C．
∵AC?平面A₁ACC₁，C₁C?平面A₁ACC₁，且
AC∩C₁C=C，
∴BD⊥平面A₁ACC₁． …（5分）
∵BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁． …（7分）
（Ⅱ）連B₁C． …（9分）
在△A₁BD中，∵O是BD的中點，M是BA₁的中點，
∴MO∥A₁D． …（10分）
∵A₁ B₁∥DC，且A₁ B₁=DC，
∴四邊形A₁ DC B₁為平行四邊形．
∴A₁D∥B₁C． …（12分）
∴MO∥B₁C，且B₁C?平面B₁BCC₁，MO?平面B₁BCC₁，
∴MO∥平面B₁BCC₁． …（14分）
說明：直線在平面內，既可用符號“”表示，也可用符號“?”表示，而且應特別讓學生知道后一種表示．
分析：（Ⅰ）利用底面ABCD是正方形，說明BD⊥AC，然后證明BD⊥平面A₁ACC₁，推出平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．
（Ⅱ）連接B₁C．證明MO∥A₁D．證明四邊形A₁ DC B₁為平行四邊形．即可證明A₁D∥B₁C．然后證明MO∥平面B₁BCC₁．
點評：本小題主要考查空間線面關系，考查直線與平面平行與平面與平面的垂直，考查空間想像能力和推理論證能力．