Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時，關(guān)于x的方程f（x）=m在區(qū)間[

1

2

，3]內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意得f（x）=xlnx，得曲線y=f（x）在x=1處的斜率k=f'（1）=1，再由直線方程的點斜式即可求出曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（II）當(dāng)a=0時，可得f′（x）=lnx，解出當(dāng)x∈[

1

2

，3]時，f′（x）＞0的解集為（1，3]且f′（x）＜0的解集為[

1

2

，1），由此列出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的表格，得函數(shù)的值域為[-1，-

1

2

ln2-

1

2

]．由此結(jié)合函數(shù)的圖象即可得到滿足條件的實數(shù)m的取值范圍；
（III）求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=lnx+a，由f'（x）=0得x=e^-a．然后分a＞1、-1≤a≤1和a＜-1三種情況加以討論，分別得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的單調(diào)性，通過比較函數(shù)的極值與區(qū)間端點的值，即可得到f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最小值的三種情況，得到本題答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=lnx+1，∴k=f'（1）=1，f（1）=0，…（3分）
∴所求的切線方程為y=x-1．…（4分）
（Ⅱ） 當(dāng)a=0時，f（x）=xlnx-x，f′（x）=lnx+1-1=lnx…（5分）
∴由

f′(x)＞0 1 2 ≤x≤3

?

lnx＞0 1 2 ≤x≤3

?1＜x≤3，

f′(x)＜0 1 2 ≤x≤3

?

1

2

≤x＜1，…（6分）
故可列表：

x	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，3）	3
y′		-	0	+
y	- 1 2 ln2- 1 2	↘	-1	↗	3ln3-3

∵-

1

2

ln2-

1

2

＜0＜3ln3-3…（9分）
∴關(guān)于x的方程f（x）=m在區(qū)間[

1

2

，3]內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根時-1＜m≤-

1

2

ln2-

1

2

；     …（10分）
（Ⅲ） f'（x）=lnx+a（x＞0），由f'（x）=0得x=e^-a．…（11分）
①當(dāng)e-a＜

1

e

，即a＞1時，f'（x）＞0，f（x）在[

1

e

  ，e]上為增函數(shù)，
f(x)min=f(

1

e

)=

a-2

e

；        …（12分）
②當(dāng)

1

e

≤e-a≤e，即-1≤a≤1時，在[

1

e

，e-a]上f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
在[e^-a，e]上f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，f(x)min=f(e-a)=-e-a；          …（13分）
③當(dāng)e^-a＞e，即a＜-1時，f'（x）＜0，f（x）在[

1

e

，e]上為減函數(shù)，f（x）_min=f（e）=ea．
綜上所述，f(x)min=

a-2 e ，   a＞1 -e-a， -1≤a≤1 ea ，  a＜-1

．…（14分）

點評：本題給出含有對數(shù)的基本初等函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)閉區(qū)間上最值求法等知識，屬于中檔題．