Question

已知集合A={x|x²+2x+a=0}，集合B={x|ax²+2x+2=0}．
（1）若集合A和B恰好有一個為∅，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若A∪B≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出A和B中方程沒有實數(shù)根時a的范圍，分兩種情況考慮：①若A=∅且B≠∅，②若A≠∅且B=∅，確定出a的范圍即可；
（2）根據(jù)A與B的并集為空集，得到A與B中方程至少有一個無解，確定出此時a的范圍即可．

解答：解：（1）若A=∅，則△₁=4-4a＜0，解得：a＞1，若B=∅，則△₂=4-8a＜0，解得：a＞

1

2

，
①若A=∅且B≠∅，不存在這樣的a值；
②若A≠∅且B=∅，解得：

1

2

＜a≤1，
綜合①②得：

1

2

＜a≤1；
（2）A∪B≠∅，即關(guān)于x的方程x²+2x+a=0和ax²+2x+2=0至少一個有實數(shù)根，
若方程x²+2x+a=0沒有實數(shù)根，則△₁=4-4a＜0，解得：a＞1，
若方程ax²+2x+2=0沒有實數(shù)根，則△₂=4-8a＜0，解得：a＞

1

2

，
∴當a＞1時，方程x²+2x+a=0，ax²+2x+2=0都沒有實數(shù)根．
則當a≤1時，兩方程至少一個有實根，
∴滿足A∪B≠∅的實數(shù)a的取值范圍為a≤1．

點評：此題考查了并集及其運算，空集的定義、性質(zhì)及運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．