2.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+2kx+1}$(k>0).
(1)若對任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥$\frac{1}{2}$恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(2)若對任意的a,b,c∈R+,均存在以$\frac{1}{f(a)}$,$\frac{1}{f(b)}$,$\frac{1}{f(c)}$為三邊邊長的三角形,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)由題意可得x2+2kx+1≤2x2+2,即為2k≤x+$\frac{1}{x}$對x>0恒成立,運用基本不等式求得不等式右邊的最小值,即可得到所求范圍;
(2)求得$\frac{1}{f(x)}$的范圍,由題意可得$\frac{1}{f(a)}$+$\frac{1}{f(b)}$>$\frac{1}{f(c)}$恒成立,即有2≥k+1,即可得到所求k的范圍.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+2kx+1}$(k>0),
對任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥$\frac{1}{2}$恒成立,
即有x2+2kx+1≤2x2+2,
即為2k≤x+$\frac{1}{x}$對x>0恒成立,
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2,(x=1取得等號),
則0<2k≤2,即0<k≤1.
則實數(shù)k的取值范圍為(0,1];    
(2)$\frac{1}{f(x)}$=$\frac{{x}^{2}+2kx+1}{{x}^{2}+1}$
=1+$\frac{2kx}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2k}{x+\frac{1}{x}}$,
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2,(x=1取得等號),
可得$\frac{1}{f(x)}$∈(1,1+k].
對任意的a,b,c∈R+,均存在以$\frac{1}{f(a)}$,$\frac{1}{f(b)}$,$\frac{1}{f(c)}$為三邊邊長的三角形,
即有$\frac{1}{f(a)}$+$\frac{1}{f(b)}$>$\frac{1}{f(c)}$恒成立,
即有2<$\frac{1}{f(a)}$+$\frac{1}{f(b)}$≤2k+2,1<$\frac{1}{f(c)}$≤k+1,
所以2≥k+1,即k≤1,
則0<k≤1.
則實數(shù)k的取值范圍為(0,1].

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法,注意運用參數(shù)分離和基本不等式,考查三角形存在的條件,以及推理和運算能力,屬于中檔題.

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