Question

已知f（x）=cos2x+4sinx．
（Ⅰ）求f′（-

π

4

）的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值以及取得最大值時x的值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調性,導數(shù)的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，即可求f′（-

π

4

）的值；
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的圖象和性質，即可求f（x）的最大值以及取得最大值時x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-2sin2x+4cosx，
則f′（-

π

4

）=-2sin（-

π

2

）+4cos（-

π

4

）=2+4×

2

2

=2+2

2

；
（Ⅱ）f（x）=1-2sin²x+4sinx=-2（sinx-1）²+3，
因為sinx∈[-1，1]，所以當sinx=1即x=

π

2

+2kπ，k∈Z時，f（x）取最大值3．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的單調性的應用，利用三角函數(shù)的圖象和性質是解決本題的關鍵．