Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅲ）設函數(shù)．若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，

單調遞減區(qū)間為

（3）

【解析】

試題分析：函數(shù)的定義域為，

． 1分

（Ⅰ）當時，函數(shù)，，．

所以曲線在點處的切線方程為，

即．4分

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為．

（1）當時，在上恒成立，

則在上恒成立，此時在上單調遞減． 5分

（2）當時，，

（�。┤�，

由，即，得或； 6分

由，即，得．7分

所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，

單調遞減區(qū)間為．   8分

（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調遞增． 9分

（Ⅲ））因為存在一個使得，

則，等價于.10分

令，等價于“當 時，”. 

對求導，得.  11分

因為當時，，所以在上單調遞增. 13分

所以，因此.   14分

另解：設，定義域為，

.

依題意，至少存在一個，使得成立，

等價于當 時，.   10分

（1）當時，

在恒成立，所以在單調遞減，

只要，不滿足題意.  11分

（2）當時，令得.

（ⅰ）當，即時，

在上，所以在上單調遞增，

所以，

由得，，

所以.      12分

（ⅱ）當，即時，

在上，所以在單調遞減，

所以，

由得.13分

（ⅲ）當，即時，

在上，在上，

所以在單調遞減，在單調遞增，

，等價于或，解得，

所以，.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.  14分

考點：導數(shù)的運用

點評：主要是對于導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，導數(shù)的幾何意義，導數(shù)的符號判定函數(shù)單調性，以及求解函數(shù)最直的運用，題型比較基礎，常規(guī)試題。