給定橢圓： ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，且其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．
(Ⅰ)，；(Ⅱ)垂直.

試題分析：(Ⅰ)利用焦點坐標求出，利用短軸上的一個端點到的距離為，求出，解出，，寫出橢圓方程，通過得到的，求出準圓的半徑，直接寫出準圓方程；(Ⅱ)分情況討論：①當中有一條直線的斜率不存在時，②當的斜率都存在時.
試題解析：(Ⅰ)由題意可知，，則，，
所以橢圓方程為.                  2分
易知準圓半徑為，
則準圓方程為.                     4分
(Ⅱ)①當中有一條直線的斜率不存在時，
不妨設的斜率不存在，因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為，
當的方程為時，此時與準圓交于點，，
此時經(jīng)過點或且與橢圓只有一個公共點的直線是或，
即為或，顯然直線垂直；           6分
同理可證直線的方程為時，直線也垂直．      7分
②當的斜率都存在時，設點，其中.
設經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，
由消去，得.
由化簡整理得，.  因為，
所以有.                10分
設直線的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點，
所以滿足方程，
所以，即垂直．                  12分
綜合①②知，垂直．                       13分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點F在軸上，離心率，點在橢圓C上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若斜率為的直線交橢圓與、兩點，且、、成等差數(shù)列，點M（1,1），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如果過點的直線與橢圓交于兩點（點與點不重合），
①求的值；
②當為等腰直角三角形時，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C:的四個頂點恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =kx交橢圓C于A，B兩點，在直線l:x+y-3=0上存在點P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，左、右頂點分別為，上頂點為，過三點作圓  
（Ⅰ）若線段是圓的直徑，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若圓的圓心在直線上，求橢圓的方程;
（Ⅲ）若直線交（Ⅱ）中橢圓于，交軸于，求的最大值  

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知、分別為橢圓的兩個焦點,點為其短軸的一個端點,若為等邊三角形,則該橢圓的離心率為(    )
A．　 B．　C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設分別是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，若△為直角三角形，則△的面積等于__   __.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓與直線相交于兩點．
（1）若橢圓的半焦距，直線與圍成的矩形的面積為8，
求橢圓的方程；
（2）若（為坐標原點），求證：；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率滿足，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設橢圓的四個頂點A、B、C、D, 若菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好經(jīng)過橢圓的焦點, 則橢圓的離心率為         __  ．

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