Question

在△ABC中，已知sin（A+B）=sinB+sin（A-B）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若，，求．

Answer 1

（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）原式可化為：sinB=sin（A+B）-sin（A-B）
=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，…（3分）
∵B∈（0，π），∴sinB＞0，
∴cosA=，…（5分）
又A∈（0，π），∴A=；…（6分）
（Ⅱ）由余弦定理，得||²=||²+||²-2||•||•cosA，…（8分）
∵||=7，•=||•||•cosA=20，
∴||²+||²=89，…（10分）
∵|+|²=||²+||²+2•=89+40=129，…（12分）
∴|+|=．…（13分）
分析：（Ⅰ）將已知等式移項變形并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后根據(jù)sinB不為0，得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式||²=||²+||²-2||•||•cosA，將已知條件利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡后代入求出||²+||²的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展開，將各自的值代入開方即可求出值．
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算法則，以及向量模的計算，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．