在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,過A1,C1,B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個角后,得到如圖所示的幾何體ABCD-A1C1D1,這個幾何體的體積為
40
3

(1)證明:直線A1B∥平面CDD1C1;
(2)求棱A1A的長;
(3)在線段BC1上是否存在點(diǎn)P,使直線A1P與C1D垂直,如果存在,求線段A1P的長,如果不存在,請說明理由.
考點(diǎn):直線與平面平行的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)根據(jù)長方體的性質(zhì)推斷出平面A1AB∥平面CDD1C1.進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理推斷出A1B∥平面CDD1C1
(2)設(shè)A1A=h,進(jìn)而根據(jù)幾何體的體積關(guān)系求得棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積,進(jìn)而利用體積公式求得h.
(3)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q,過Q作QP∥CB交BC1于點(diǎn)P,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出A1D1⊥平面CC1D1D,進(jìn)而根據(jù)QP∥CB,CB∥A1D1,推斷出QP∥A1D1,利用線面垂直的性質(zhì)證明出A1P⊥C1D.通過△D1C1Q∽Rt△C1CD,利用比例關(guān)系求得C1Q,最后利用平方關(guān)系求得A1P.
解答: (1)證明:∵ABCD-A1B1C1D1是長方體,
∴平面A1AB∥平面CDD1C1
∵A1B?平面A1AB,A1B?平面CDD1C1,
∴A1B∥平面CDD1C1
(2)解:設(shè)A1A=h,
∵幾何體ABCD-A1C1D1的體積為
40
3

VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=
40
3
,
SABCD×h-
1
3
×SA1B1C1×h=
40
3
,
2×2×h-
1
3
×
1
2
×2×2×h=
40
3
,解得h=4.
∴A1A的長為4.
(3)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q,過Q作QP∥CB交BC1于點(diǎn)P,則A1P⊥C1D.
∵A1D1⊥平面CC1D1D,C1D?平面CC1D1D,
∴C1D⊥A1D1,而QP∥CB,CB∥A1D1
∴QP∥A1D1,
又∵A1D1∩D1Q=D1,
∴C1D⊥平面A1PQC1
且A1P?平面A1PQC1,
∴A1P⊥C1D.
∵△D1C1Q∽Rt△C1CD,
C1Q
CD
=
D1C1
C1C
,
∴C1Q=1,
又∵PQ∥BC,
PQ=
1
4
BC=
1
2

∵四邊形A1PQD1為直角梯形,且高D1Q=
5
,
A1P=
(2-
1
2
)
2
+5
=
29
2
點(diǎn)評:本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生推理和分析能力.
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