Question

已知函數f(x)=

x

a

+1nx，其中a為常數，e為自然對數的底數．
（1）當a=-1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間（0．e]上的最大值為2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把a=-1時代入函數f(x)=

x

a

+1nx，求導，令f′（x）＞0求出函數的增區(qū)間，令f′（x）＜0求出函數的減區(qū)間；
（2）對方程f'（x）=0有無實根，和有根，根是否在區(qū)間（0，e]內進行討論，求得函數的極值，確定函數的最大值．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）
當a=-1時，f（x）=lnx-x
f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

令f′（x）＞0得，0＜x＜1，令f′（x）＜0得，x＞1或x＜0，
∴函數f（x）增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）f′（x）=

1

a

+

1

x

=

a+x

ax

①當a＜0時，x＞0，∴f′（x）＞0
∴函數f（x）在（0．e]上是增函數，
∴f（x）_max=f（e）=2
∴

e

a

+1=2
∴a=e符號題意；
②當a＜0時，令f′（x）=0得x=-a，
1°若0＜-a≤e，即-e≤a＜0時
∴f（x）_max=f（-a）=2
∴-1+ln（-a）=2，
∴a=-e^{2不符號題意，舍去；}
2°若-a＞e，即a＜-e時，在（0，e]上f′（x）＞0．∴f（x）在（0．e]上是增函數，
故f（x）_max=f（e）=2
∴a=e不符號題意，舍去；
故a=e．

點評：考查利用導數的方法研究函數的單調性、極值、最值和分類討論的思想方法，注意函數的定義域；屬難題．