Question

8．根據(jù)最新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》指出空氣質(zhì)量指數(shù)在0～50，各類人群可正�；顒樱�某市環(huán)保局在2014年對該市進(jìn)行了為期一年的空氣質(zhì)量檢測，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本進(jìn)行分析報(bào)告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖．
（Ⅰ）求a的值；并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)這一年度的空氣
質(zhì)量指數(shù)的平均值；
（Ⅱ）用這50個(gè)樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全年的總體數(shù)據(jù)，將頻率視為概率．如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過20，就認(rèn)定空氣質(zhì)量為“最優(yōu)等級”．從這一年的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2天的數(shù)值，其中達(dá)到“最優(yōu)等級”的天數(shù)為ξ，求ξ的分布列，并估計(jì)一個(gè)月（30天）中空氣質(zhì)量能達(dá)到“最優(yōu)等級”的天數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能求出a的值和50個(gè)樣本中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值，從而能估計(jì)2014年這一年度空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值．
（Ⅱ）利用樣本估計(jì)總體，該年度空氣質(zhì)量指數(shù)在[0，20]內(nèi)為“最優(yōu)等級”，且指數(shù)達(dá)到“最優(yōu)等級”的概率為0.3，則ξ～B（2，0.3）．由此能求出ξ的分布列和一個(gè)月（30天）中空氣質(zhì)量能達(dá)到“最優(yōu)等級”的天數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得（0.03+0.032+a+0.01+0.008）×10=1，
解得a=0.02．…（3分）
50個(gè)樣本中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值為：
$\overline X=0.1×5+0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.08×45=25.6$
由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)2014年這一年度空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值約為25.6  …（6分）
（Ⅱ）利用樣本估計(jì)總體，該年度空氣質(zhì)量指數(shù)在[0，20]內(nèi)為“最優(yōu)等級”，
且指數(shù)達(dá)到“最優(yōu)等級”的概率為0.3，則ξ～B（2，0.3）．
ξ的可能取值為0，1，2，…（7分）
$P（ξ=0）=C_2^0{（0.3）^0}×{（0.7）^2}=\frac{49}{100}，P（ξ=1）=C_2^1（0.3）×（0.7）=\frac{42}{100}$，
$P（ξ=2）=C_2^2{（0.3）^2}=\frac{9}{100}$…（10分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{49}{100}$	$\frac{42}{100}$	$\frac{9}{100}$

…（11分）$Eξ=0×\frac{49}{100}+1×\frac{42}{100}+2×\frac{9}{100}=0.6$．（或者Eξ=2×0.3=0.6），…（12分）
設(shè)一個(gè)月（30天）中空氣質(zhì)量能達(dá)到“最優(yōu)等級”的天數(shù)為η，則η～B（30，0.3）
故一個(gè)月（30天）中空氣質(zhì)量能達(dá)到“最優(yōu)等級”的天數(shù)大約為Eη=30×0.3=9天．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查頻率分直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列的求法，在歷年高考中都是必考題型之一．