Question

數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1）．記．
（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（法一）（I）由a₁結(jié)合遞推公式可求a₂，a₃，a₄，代入求b₁，b₂，b₃，b₄
（II）先由（I）中求出的b₁，b₂，b₃，b₄的值，觀察規(guī)律可猜想數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而可求b_n，結(jié)合⇒，從而猜想得以證明，代入求出a_n•b_n，進(jìn)而求出前n和s_n
（法二）（I）代入遞推公式可得，代入可求b₁，b₂，b₃，b₄
（II）利用（I）中的遞推關(guān)系個(gè)構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列，從而可求b_n，s_n
（法三）（I）同法一
（II）先由（I）中求出的b₁，b₂，b₃，b₄的值，觀察規(guī)律可猜想數(shù)列b_n+1-b_n為等比數(shù)列，仿照法一再證明猜想，根據(jù)求通項(xiàng)的方法求b_n，進(jìn)一步求s_n
解答：解：法一：
（I）a₁=1，故；，
故；，
故；，
故．

（II）因，
故猜想是首項(xiàng)為，公比q=2的等比數(shù)列．
因a_n≠2，（否則將a_n=2代入遞推公式會(huì)導(dǎo)致矛盾）故．
因，

故確是公比為q=2的等比數(shù)列．
因，故，，
由得，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n===

法二：
（Ⅰ）由得，代入遞推關(guān)系8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0，
整理得，即，
由a₁=1，有b₁=2，所以．

（Ⅱ）由，
所以是首項(xiàng)為，公比q=2的等比數(shù)列，
故，即．
由，得，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n===．

法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）猜想{b_n+1-b_n}是首項(xiàng)為，
公比q=2的等比數(shù)列，
又因a_n≠2，故．
因此=
；
=．
因是公比q=2的等比數(shù)列，，
從而b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=
=
=．
由得，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n===．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的綜合運(yùn)用：遞推關(guān)系的運(yùn)用，構(gòu)造等比求數(shù)列通項(xiàng)，累加求通項(xiàng)，歸納推理的運(yùn)用，綜合考查了考生的推理運(yùn)算能力．