Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₂=5，a₄+a₆=22
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）若f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n）（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得

a1+d=5 2a1+8d=22

，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由已知得b_n=f（a_n）=

1

an2-1

=

1

4n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}滿足：a₂=5，a₄+a₆=22，
∴

a1+d=5 2a1+8d=22

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（Ⅱ）∵f（x）=

1

x2-1

，
∴b_n=f（a_n）=

1

an2-1

=

1

4n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4(n-1)

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．