Question

（本題滿分12分）

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；

(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）建立空間直角坐標(biāo)系后，計算證得PQ⊥DQ，PQ⊥DC.PQ⊥平面DCQ.

再據(jù)PQ平面PQC，得到平面PQC⊥平面DCQ.   （II） 

【解析】

試題分析：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.

（I）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.

則

所以

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.

故PQ⊥平面DCQ.

又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.  …………6分

（II）依題意有B（1，0，1），

設(shè)是平面PBC的法向量，則

因此可取

設(shè)m是平面PBQ的法向量，則

可取

故二面角Q—BP—C的余弦值為   ………………12分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計算，空間向量的應(yīng)用。

點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。