橢圓的離心率等于
3
3
，且與雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1有相同的焦距，則橢圓的標準方程為
x2
75
+
y2
50
=1或
y2
75
+
x2
50
=1
x2
75
+
y2
50
=1或
y2
75
+
x2
50
=1
．
分析：分橢圓的焦點在x軸和y軸上，設出橢圓方程，利用與雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1有相同的焦距且離心率為
3
3
，建立方程組，求得幾何量，即可求得橢圓的標準方程．
解答：解：（i）當橢圓的焦點在x軸上時，
設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，則
∵橢圓的焦距與雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1有相同的焦距，且離心率為
3
3
，
∴
a2-b2=25
5
a
=
3
3

∴a2=75，b2=50
∴橢圓C的標準方程為
x2
75
+
y2
50
=1；
（ii）當橢圓的焦點在x軸上時，
設橢圓的方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1，則同理可得橢圓C的標準方程為
y2
75
+
x2
50
=1．
故答案為：
x2
75
+
y2
50
=1或
y2
75
+
x2
50
=1．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與直線x+y-1=0相交于P、Q兩點，且
OP
⊥
OQ
（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：
1
a2
+
1
b2
等于定值；
（Ⅱ）當橢圓的離心率e∈[
3
3
，
2
2
]時，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C的中心在原點，長軸在x軸上，長軸的長等于2
3
，離心率為
3
3
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，點M是橢圓上異于A1，A2的任意一點，設直線MA1，MA2的斜率分別為kMA1，kMA2，證明kMA1•kMA2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

橢圓的離心率等于
3
3
，且與雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1有相同的焦距，則橢圓的標準方程為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與直線x+y-1=0相交于P、Q兩點，且
OP
⊥
OQ
（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：
1
a2
+
1
b2
等于定值；
（Ⅱ）當橢圓的離心率e∈[
3
3
，
2
2
]時，求橢圓長軸長的取值范圍．

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