Question

如果函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，對于定義域內(nèi)的任意x，存在實(shí)數(shù)a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”．
（I）判斷函數(shù)y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”，若具有“P（a）性質(zhì)”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性質(zhì)”，請說明理由；
（II）設(shè)函數(shù)y=g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，且當(dāng)時，g（x）=|x|．若y=g（x）與y=mx交點(diǎn)個數(shù)為2013個，求m的值．

Answer 1

解：（I）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根據(jù)誘導(dǎo)公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
（II）∵y=g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，
∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），從而得到y(tǒng)=g（x）是以2為周期的函數(shù)．
又設(shè)≤x≤，則-≤1-x≤，
g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
再設(shè)n-≤x≤n+（n∈z），
當(dāng)n=2k（k∈z），2k-≤x≤2k+，則-≤x-2k≤，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
當(dāng)n=2k+1（k∈z），2k+1-≤x≤2k+1+，則≤x-2k≤，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
∴對于，n-≤x≤n+（n∈z），都有g(shù)（x）=|x-n|，而n+1-≤x+1≤n+1+，
∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
∴y=g（x）是周期為1的函數(shù)．
①當(dāng)m＞0時，要使y=mx與y=g（x）有2013個交點(diǎn)，只要y=mx與y=g（x）在[0，1006）有2012個交點(diǎn)，而在[1006，1007]有一個交點(diǎn)．
∴y=mx過（，），從而得m=
②當(dāng)m＜0時，同理可得m=-
③當(dāng)m=0時，不合題意．
綜上所述m=±…（14分）
分析：（I）根據(jù)題意先檢驗(yàn)sin（x+a）=sin（-x）是否成立即可檢驗(yàn)y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”
（II）由題意可得g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），據(jù)此遞推關(guān)系可推斷函數(shù)y=g（x）的周期，根據(jù)交點(diǎn)周期性出現(xiàn)的規(guī)律即可求解滿足條件的m．
點(diǎn)評：本題考查周期函數(shù)，著重考查函數(shù)在一定條件下的恒成立問題，綜合考察構(gòu)造函數(shù)、分析轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想與方法，難度大，思維深刻，屬于難題．