Question

（2012•綿陽二模）已知向量

m

=（cosωx，sinωx），

n

=（cosωx，2

3

cosωx-sinωx）（x∈R，ω＞0）函數(shù)f（x）=|

m

|+

m

•

n

且最小正周期為π，
（1）求函數(shù)，f（x）的最大值，并寫出相應(yīng)的x的取值集合；
（2）在△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且f（B）=2，c=3，S_△ABC=6

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）利用求出兩個向量的數(shù)量積公式

m

•

n

的值以及|

m

|的值，可得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

）+1，由周期求得ω=1，故f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），求得f （x）有最大值3時x的取值集合．
（2）由f （B）=2，知2sin（2x+

π

6

）+1=2，解得B=

π

3

，再由S_△ABC=

1

2

ac•sinB=6

3

，求出a的值，再由余弦定理求出b的值．

解答：解：（1）∵向量

m

=（cosωx，sinωx），

n

=（cosωx，2

3

cosωx-sinωx），∴|

m

|=

cos2ωx+sin2ωx

=1．

m

•

n

=cos²ωx+2

3

sinωxcosωx-sin²ωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2（

1

2

cos2ωx+

3

2

sin22ωx）=2sin（2ωx+

π

6

），
∴f（x）=2sin（2ωx+

π

6

）+1．
由T=

2π

ω

=π，解得ω=1．∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．
由 2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即 x=kπ+

π

6

（k∈Z），
即當x∈{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}時，f （x）有最大值3．
（2）∵f （B）=2，由（1）知2sin（2x+

π

6

）+1=2，即 sin（2x+

π

6

）=

1

2

．
于是2B+

π

6

=

5π

6

，解得B=

π

3

．  
由S_△ABC=

1

2

ac•sinB=6

3

，即 

1

2

a×3×

3

2

，解得a=8，
由余弦定理得  b²=a²+c²-2accosB=64+9-2×8×3×

1

2

=49，
∴b=7．   （12分）

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，正弦定理、余弦定理以及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．