Question

給定橢圓C：＝1(a>b>0)，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為.

(1)求橢圓C和其“準圓”的方程；

(2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；

(3)在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由．

 

Answer 1

（1）x2＋y2＝4（2）[0，7＋4)（3）對于橢圓C上的任意點P，都有l(wèi)1⊥l2.

【解析】(1)由題意知c＝，且a＝＝，可得b＝1，故橢圓C的方程為＋y2＝1，其“準圓”方程為x2＋y2＝4.

(2)由題意，可設B(m，n)，D(m，－n)(－<m<)，則有＋n2＝1，又A點坐標為(2，0)，故＝(m－2，n)，＝(m－2，－n)，故·＝(m－2)2－n2＝m2－4m＋4－＝m2－4m＋3＝，又－<m<，故∈[0，7＋4]，所以·的取值范圍是[0，7＋4)．

(3)設P(s，t)，則s2＋t2＝4.當s＝±時，t＝±1，則l1，l2其中之一斜率不存在，另一斜率為0，顯然有l(wèi)1⊥l2.當s≠±時，設過P(s，t)且與橢圓有一個公共點的直線l的斜率為k，則l的方程為y－t＝k(x－s)，代入橢圓C方程可得x2＋3[kx＋(t－ks)]2＝3，即(3k2＋1)x2＋6k(t－ks)x＋3(t－ks)2－3＝0，由Δ＝36k2(t－ks)2－4(3k2＋1)[3(t－ks)2－3]＝0，可得(3－s2)k2＋2stk＋1－t2＝0，其中3－s2＝0，設l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是上述方程的兩個根，故k1k2＝＝－1，即l1⊥l2.綜上可知，對于橢圓C上的任意點P，都有l(wèi)1⊥l2.