Question

一半徑為2m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3s轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P₀）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．
（1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度h（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)；
（2）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？
（3）記f（t）=h，求證：不論t為何值，f （t）+f （t+1）+f （t+2）是定值．

Answer 1

解：（1）以水輪所在平面與水面的交線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)h=Asin（ωt+φ）+k，（﹣＜φ＜0），
則A=2，k=1，
∵T=3=，
∴ω=
∴h=2sin（t+φ）+1，
∵t=0，h=0，
∴0=2sinφ+1，
∴sinφ=﹣，
∴﹣＜φ＜0，
∴φ=﹣，
∴h=2sin（t﹣）+1
（2）令2sin（t﹣）+1=3，
得sin（t﹣）=1，
∴t﹣=，
∴t=1，
∴點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要1s的時(shí)間；
（3）由（1）知：f （t）=2sin（t﹣）+1=sint﹣cost+1，
f （t+1）=2sin（t+）+1=2cost+1，
f （t+2）=2sin（t+）+1=﹣sint﹣cost+1，
∴f （t）+f （t+1）+f （t+2）=3（為定值）．