Question

16．已知橢圓$\frac{y^2}{5}+{x^2}=1$與拋物線x²=ay有相同的焦點F，O為原點，點P是拋物線準線上一動點，點A在拋物線上，且|AF|=4，則|PA|+|PO|的最小值為2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 利用拋物線的定義由|AF|=4得到A到準線的距離為4，即可求出點A的坐標，最后利用平面幾何的方法即可求出距離之和的最小值．

解答 解：∵橢圓$\frac{{y}^{2}}{5}$+x²=1，a=$\sqrt{5}$，b=1，則c²=5-1=4，即c=2，則橢圓的焦點為（0，±2），
不妨取焦點（0，2），
∵拋物線x²=ay，
∴拋物線的焦點坐標為（0，$\frac{a}{4}$），
∵橢圓$\frac{{y}^{2}}{5}$+x²=1與拋物線x²=ay有相同的焦點F，
∴$\frac{a}{4}$=2，即a=8，則拋物線方程為x²=8y，準線方程為y=-2，
∵|AF|=4，由拋物線的定義得，
∴A到準線的距離為4，y+2=4，
即A點的縱坐標y=2，
又點A在拋物線上，
∴x=±4，不妨取點A的坐標A（4，2）；
A關(guān)于準線的對稱點的坐標為B（4，-6）
則|PA|+|PO|=|PB|+|PO|≥|OB|，
即O，P，B三點共線時，有最小值，
最小值為|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+（-6）^{2}}$=$\sqrt{52}$=2$\sqrt{13}$，
故答案為：2$\sqrt{13}$．

點評 本題主要考查學生靈活運用拋物線的簡單性質(zhì)解決最小值問題，靈活運用點到點的距離、對稱性化簡求值，屬于中檔題．