Question

已知函數(shù)f（x）=cosx[sin（x+

π

3

）-

3

sin（x+

π

2

）]+

3

4

．
（1）若f（

θ

2

+

5π

12

）=

3

10

，0＜θ＜

π

2

，求tanθ的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），由f（

θ

2

+

5π

12

）=

3

10

，可解得cosθ，又0＜θ＜

π

2

，可由同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求sinθ，tanθ的值．
（2）由f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），根據(jù)周期公式可求T，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=cosx[sin（x+

π

3

）-

3

sin（x+

π

2

）]+

3

4

=cosx（

1

2

sinx-

3

2

cosx）+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x=

1

2

sin（2x-

π

3

），
∵f（

θ

2

+

5π

12

）=

3

10

，故有：

1

2

sin[2（

θ

2

+

5π

12

）-

π

3

]=

1

2

sin（θ+

5π

6

-

π

3

）=

1

2

sin（θ+

π

2

）=

1

2

cosθ=

3

10

，
∴可解得：cosθ=

3

5

，
∵0＜θ＜

π

2

，sinθ=

1-cos2θ

=

4

5

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

3 5

4 5

=

3

4

．
（2）∵f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），
∴T=

2π

2

=π．
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的最小正周期是π，單調(diào)遞增區(qū)間是：x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．