Question

已知函數(shù) f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，a∈R，
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）設(shè)a＜-1，證明：對任意x₁，x₂∈（2，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=2ax-（2a+1）+==，
①若a=0，則f′（x）=，當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
②若0＜a＜，令f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞，令f′（x）＜0，得1＜x＜，
所以f（x）在（0，1），（，+∞）上遞增，在（1，）上遞減；
③若a=，f′（x）=≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
令f′（x）＞0，得0＜x＜，或x＞1，令f′（x）＜0，得＜x＜1，
所以f（x）在（0，），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減；
⑤若a＜0，令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減；
綜上，a=0時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上遞減；0＜a＜時，f（x）在（0，1），（，+∞）上遞增，在（1，）上遞減；
a=時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；a＞時，f（x）在（0，），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減；
a＜0時，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減；
（Ⅱ）|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|，即≥2，所以有|f′（x）|≥2．
所以證明對任意x₁，x₂∈（2，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|，
只需證明|f′（x）|≥2，即證明≥2對任意x∈（2，+∞）成立，也即證明2a≤（x＞2），
令g（x）=（x＞2），則g′（x）=，
當x＞2時，g′（x）＞0，所以g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（2）=-，
而a＜-1時，2a＜-2，所以2a＜-＜g（x），即2a≤（x＞2）成立．
故a＜-1時，對任意x₁，x₂∈（2，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|．
分析：（Ⅰ）求出函數(shù)定義域及導數(shù)f′（x）=，分①a=0，②0＜a＜，③a=，④a＞，⑤a＜0五種情況進行討論解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出不等式即為單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|，即≥2，可證明|f′（x）|≥2，利用導數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題證明；
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值問題，考查分類討論思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，屬難題．