已知橢圓的中心為O，長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)分別為2a,2b(a>b>0),A,B分別為橢圓上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AB交AB于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡。
點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓。
以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸所在直線為x軸，短軸所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則橢圓的方程為。
以O(shè)點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為。
由于OA⊥OB，可設(shè)A(r1,q1),,則，
，
所以，
故。
因?yàn)镺M⊥AB,由等面積得|OM|·|AB|=|OA|·|OB|，
從而|OM|2·|AB|2=|OA|2·|OB|2,，且|AB|2=|OA|2+|OB|2,
即，所以,
故點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且.

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）設(shè)不是的直徑，的中點(diǎn)為，且，證明：為等邊三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直線l經(jīng)過(guò)直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點(diǎn)，
（1）點(diǎn)A（5，0）到l的距離為3，求l的方程；
（2）求點(diǎn)A（5，0）到l的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

以雙曲線的左焦點(diǎn)為圓心，實(shí)軸長(zhǎng)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

設(shè)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程是(　　)
A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2xD．y2＝－2x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

如圖，圓的割線交圓于、兩點(diǎn)，割線經(jīng)過(guò)圓心，已知，，，則圓的半徑是__      .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心的圓與直線相切.
（1）求圓O的方程；
（2）圓O與軸相交于兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，
求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

圓心在直線2x－3y－1＝0上的圓與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，則圓的方程為(    )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－2)2＝2
D．(x－2)2＋(y－1)2＝2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

求過(guò)兩點(diǎn)A(1，4)、B(3，2)且圓心在直線y＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)P(2，4)與圓的關(guān)系．

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