Question

在如圖所示的幾何體中，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，M為AF的中點(diǎn)，BN⊥CE.

(1)求證：CF∥平面MBD；
(2)求證：CF⊥平面BDN.

Answer 1

（1）見解析    （2）見解析

證明：(1)連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．
因?yàn)镸為AF的中點(diǎn)，所以CF∥OM，
又OM?平面MBD，CF?平面MBD，所以CF∥平面MBD.

(2)因?yàn)檎�方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，
所以AF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以AF⊥BD.
又四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
因?yàn)锳C∩AF＝A，所以BD⊥平面ACF，
因?yàn)镃F?平面ACF，所以CF⊥BD.
因?yàn)锳B⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，所以AB⊥平面BCE.
因?yàn)锽N?平面BCE，所以AB⊥BN，易知EF∥AB，
所以EF⊥BN.
又EC⊥BN，EF∩EC＝E，所以BN⊥平面CEF，
因?yàn)镃F?平面CEF，所以BN⊥CF.
因?yàn)锽D∩BN＝B，所以CF⊥平面BDN.